摘要在工程实际中旋转机械由于制造和加工误差，装配的不均匀性等原因，往往会脉动运行，这将使得机械系统发生参数振动.当脉动参数满足一定关系时，这种参数振动将会失稳，进而影响机械结构的正常运转.本文针对这一问题，引入压电材料对脉动旋转悬臂梁系统的振动进行控制，研究主动控制悬臂梁系统的参数振动优化设计问题，采用Hamilton变分原理与一阶Galerkin离散相结合的方法，建立了受速度反馈传感器主动控制的压电旋转悬臂梁的一阶近似线性控制方程.运用多尺度方法，得到了压电旋转悬臂梁系统在发生1/2亚谐波参数共振时稳定性边界的控制方程，并利用直接分析方法验证了解析摄动解的正确性.将摄动解中临界阻尼比和轮毂角速度脉动幅值的无量纲参数作为评价系统稳定性能的指标.通过数值算例，分析了轮毂半径、轮毂角速度平均值和脉动幅值、梁长以及速度传感器的反馈增益系数对系统稳定性区域的影响.研究结果表明，梁长、轮毂半径、脉动幅值会降低系统稳定性，反馈增益系数可以提高系统稳定性，而轮毂角速度平均值与系统稳定性之间有非单调的关系.为进一步设计压电旋转机械结构提供了理论依据.
关键词压电旋转悬臂梁，主动控制，参数振动，稳定性，多尺度法
引言
旋转机构广泛地应用于机械、航空航天、土木工程、船舶领域，如直升机旋翼、空间旋转展开机构、船舶螺旋桨等，其在参数激励或外激励作用下的动力学行为，直接影响整个机械系统运转的可靠性、安全性及舒适性，因此受到国内外学者的极大关注.马辉等[1]以板壳振动理论，Hamilton变分原理以及Galerkin截断法为理论基础，研究了机匣刚度，不对中角以及最小间隙对旋转叶片--机匣的振动响应的影响.Yu等[2]基于功能梯度旋转悬臂梁模型，研究发现弯扭耦合效应会显著影响无轴承式直升机旋翼的振动特性.赵婕等[3]针对离散方法分析含有柔性元件的航天器结构动力学行为所引起的动力刚化的现象，提出了将弹性元件作为分布参数子系统处理，研究了末端带有刚体的旋转梁系统的运动稳定性.李学常和李书[4]利用传递矩阵法分析了无轴承式直升机旋翼系统的固有振动特性，研究表明摆阵耦合对旋翼系统的固有频率影响较小可以忽略，但总距角、旋翼质心到固定端的距离变化对系统固有频率的影响较大.Zhu等[5]提出了一种旋转轴向运动简支梁模型，研究了旋转、轴向运动速度对系统振动频率、稳定性边界和临界速度的影响.Chen和Li[6]基于壳理论，提出了一种具有预扭转角的旋转层合叶片的动力学模型.采用瑞利里兹法并结合悬臂边界条件满足连续多项式函数的条件，分析了系统固有频率和模态函数.Gu等[7]提出了一种具有初始指数函数描述的几何缺陷旋转悬臂面板的模型，并开展了几何参数、缺陷大小和位置、预扭转角以及旋转速度等因素对自由振动特性影响的研究.Ghafari和Jalil[8]基于降维方法，研究了变截面旋转复合材料梁的动力学特性.谢丹和蹇开林[9]利用改进的无网格伽辽金技术，研究了旋转梁的刚柔耦合动力学特性，并用有限元方法验证了所提结果的正确性.瞿叶高等[10]将壳体所有分区界面上的位移协调方程引入到能量泛函中，提出了一种计算任意边界条件下层合旋转壳自由振动的半解析区域分析法.以复合材料层合圆柱、圆锥和球体壳为算例，说明了提出方法的高效收敛性.寇海江等[11]利用变分方法，建立了热冲击和碰摩故障作用下旋转悬臂板的运动微分方程，通过计算系统的模态和温度分布特性，讨论了热冲击振动和碰摩故障对旋转板动力学行为的影响.Hoskoti等[12]利用非均匀欧拉伯努利梁理论，建立了旋转叶片的动力学模型并研究了涡激振动而引起的锁频现象.
作为智能结构的一种，压电材料由于具有正、逆压电效应特性，已经普遍应用于现代工程结构的动力学行为调控、能量采集以及振动控制.Ke等[13-15]研究了压电纳米梁、板和壳的尺寸依赖的动力学特性.张乐乐等[16]运用连续介质理论，分析了SH型导波在压电纳米板中的传播特性，研究结果表明SH型导波在纳米板中具有明显的尺寸依赖性.周伟建和陈伟球[17]研究了表面波在具有表面效应的压电半空间中的传播特性.李林利和薛春霞[18]采用有限变形理论，建立了压电双曲壳的非线性控制方程，分析了温度场对压电双曲壳动力学特性的影响.Pradeesh和Udhayakumar[19]通过数值和实验方法研究压电材料沿悬臂梁长布置对能量采集的影响，讨论了能量采集的共振频率和输出电压的变化规律.何燕丽和赵翔[20]提出了一种曲梁压电俘能器，基于所获得的解析解，分析了负载电阻和基梁材料的弹性模量对能量采集的影响.Li等[21-22]提出了主被动混合压电网络技术抑制悬臂梁的振动，通过开环和闭环特性分析，得到了主被动压电控制方法对宽频带的振动控制具有重要的影响.李凤明等[23-24]研究了利用压电材料非线性梁在参数和外激励作用下的运动稳定性和主动控制问题，采用速度负反馈的原理设计了主动控制器，分析了控制增益和外激励幅值对系统稳定性边界和频响曲线的影响.Chandiramani[25]考虑高阶剪切变形理论，采用压电材料作为传感器和作动器，结合最优控制理论研究了薄壁旋转梁的主动控制问题.He等[26]通过速度负反馈控制算法，设计了压电功能梯度板的主动控制率，分析了体积分数和增益系数对系统动力学的影响.Selim等[27]以Reddy高阶剪切理论为基础，对具有压电层的功能梯度板进行了主动振动控制.Li等[28]研究了功能梯度压电材料板的主动控制问题，结果表明压电材料的分布对板结构的振动控制具有很大的影响.
虽然压电旋转结构的动力学与控制问题已引起了很多学者关注，但旋转脉动所引起的压电结构的参数共振稳定性问题研究还是相对较少.本文应用Hamilton变分原理并结合Galerkin离散方法，建立了主动压电旋转悬臂梁的控制方程;利用多尺度法获得该系统的稳定性边界摄动解;运用数值算例，分析主动控制的反馈增益系数、梁长、轮毂半径、轮毂角速度平均值和脉动幅值对结构参数振动稳定性的影响，以期为进一步设计旋转机械提供新的理论依据.
1系统控制
方程主动控制压电旋转悬臂梁的力学模型如图1所示.压电悬臂梁的左端固定在刚性轮毂上，轮毂绕其轴心转动从而使悬臂梁也随之旋转.基础梁的上表面铺有压电材料，梁的下端面受分布载荷作用，为分析问题方便，建立如图1所示的直角坐标系，设x轴定义在压电梁的中性面上并沿着水平方向，z轴以竖直向上为其正方向.hs为基础梁的厚度，hp为压电层的厚度，b为梁的宽度以及Zn为中性层到压电层的厚度.
根据一阶Galerkin离散法，压电悬臂梁的横向位移w(x,t)可近似表示为w(x,t)=W(x)q(t)
4小结
本文建立了主动控制压电旋转悬臂梁的一阶近似动力学方程，运用多尺度法找到了系统在发生第一阶模态参数共振时稳定性边界摄动解，通过分析得出来如下结论：
(1)当系统的第一阶固有频率接近1/2轮毂角速度脉动频率时，系统会发生参数共振而可能失稳.
(2)无量纲参数μr减小以及无量纲阻尼比ζr增大均可以提高系统参数振动稳定性.
(3)发生参数共振时，梁长、轮毂半径和脉动幅值的增大会降低系统稳定性，而反馈增益系数的增大可以提高系统稳定性，但提高的抑制效果会逐渐减弱.
(4)轮毂角速度平均值对系统稳定性的影响并不是单调的，在临界值之前，轮毂角速度平均值的增大会降低系统稳定性，但在临界值之后，反而会提高系统稳定性.另外，轮毂角速度平均值的增大会削弱主动压电旋转悬臂梁的振动抑制效果.
本研究所得结论对于旋转机构的设计具有重要的理论指导意义.——论文作者：唐 冶，王 涛，丁 千
主动控制压电旋转悬臂梁的参数振动稳定性分析相关期刊推荐：《应用力学学报》(双月刊)1984年创刊，是中央级学术刊物。《应用力学学报》主要反映现代力学在工程实际中的应用，及时交流运用控力学理论、计算方法和实验技术在解决工程实际问题中取得的新成果。涉及内容包括流体、振动、强度等方面的问题。
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