摘要多柔体系统是由柔性部件和运动副组成的力学系统，在航空、航天、车辆、机械与兵器等众多工程领域具有广泛的应用前景，其典型的代表包括柔性机械臂、直升机旋翼、卫星的可展开天线、太阳帆航天器等.近年来，随着工程技术的发展，多柔体系统动力学问题日益突出，尤其是含变长度柔性部件的多柔体系统，不仅涉及其动力学建模与计算，还涉及其动力学优化设计.事实上，部件柔性对多柔体系统的动力学行为影响很大，直接影响到优化结果，因此需要发展基于多柔体系统动力学的优化设计方法.本文首先阐述了多柔体系统动力学优化的研究背景及意义，简要回顾了多柔体系统动力学建模的3类方法：浮动坐标方法、几何精确方法和绝对节点坐标方法，并介绍了含变长度柔性部件的多柔体系统动力学建模方法.系统概述了多柔体系统动力学响应优化、动力学特性优化和动力学灵敏度分析3个方面的研究进展，并从尺寸优化、形状优化和拓扑优化3个方面综述了多柔体系统部件优化的研究进展.本文最后提出了在多柔体系统动力学优化研究中值得关注的若干问题.
关键词多柔体系统，动力学建模，动力学优化，动力学响应，动力学特性，灵敏度分析，部件优化
引言
自20世纪60年代多体系统动力学(multibodysystemdynamics)这个力学分支学科创立以来，其研究逐渐从多刚体系统动力学向多柔体系统动力学发展，并不断与其他学科进行交叉，涉及到固体力学、流体力学、非线性动力学、自动控制、优化设计、应用数学等多方面的理论和方法[1-2].该学科的研究成果已广泛应用于航天、车辆、机械、动力等工程领域中[3].
由于多刚体系统动力学已发展的比较成熟和完善，本文主要关注多柔体系统动力学.过去，人们对多柔体系统的部件动力学设计通常采用试错法.这种设计方法不仅耗时，而且无法保证得到最优结果.人们也常将系统中某个重要部件进行单独静力学优化，根据经验来假定部件所受的载荷，不考虑系统运行环境对部件优化的影响.这类优化设计适用于比较刚性的多体系统，无法处理具有大范围运动与大变形耦合的多柔体系统.事实上，部件柔性对多柔体系统的动力学行为影响很大，直接影响到优化结果.因此，不论是航空、航天等科技领域，还是机械领域，均需要发展基于多柔体系统动力学的柔性部件优化设计方法[4].
传统的结构优化设计包括尺寸优化、形状优化和拓扑优化等，已非常成熟[5].然而，多柔体系统优化设计仍处于发展阶段.多柔体系统动力学优化设计的目的是寻找安全、经济的多柔体系统形式或多柔体系统中某些部件的结构形式.多柔体系统形式包括系统中运动副的数量、位置和类型，柔性部件的布局等;而部件的结构形式包括部件尺寸、形状和拓扑等信息.为了能够设计出超越设计者经验的多柔体系统构型和部件构型，拓扑优化是非常有效的工具.多柔体系统动力学优化设计是集多柔体系统动力学、有限单元法、数学规划法、数值计算方法、程序设计等诸多学科的产物.其主要思想是：在满足工程系统各种性能要求的约束条件下，建立多柔体系统动力学优化数学模型，将多柔体系统动力学分析和优化算法相结合，对多柔体系统中柔性部件的尺寸、形状和拓扑等进行优化设计.多柔体系统动力学优化设计使得多柔体系统动力学的研究任务由被动的数值仿真和分析预测上升为主动的设计与优化.因此，多柔体系统动力学优化具有重要的应用价值，同时具有更大的难度和挑战.
根据WebofScience数据库检索(截至2019年10月17日)，以“multibodydynamics”为主题的SCI检索期刊论文共4019篇，在这些结果中再以“optimizationofmultibodydynamics”为主题进行检索，得到SCI检索期刊论文502篇.在这502篇文章中，中国学者发表的论文占103篇，位居第一;位居第二的是美国学者，共发表95篇.这表明，在多体系统动力学研究中，对动力学优化的研究比重还不高;而在研究动力学优化的学者中，以中国学者和美国学者为主.此外，在这502篇期刊论文中，尚没有ESI高被引论文，表明该领域的学术影响力尚待提高.
在WebofScience数据库中，以“optimizationofmultibodydynamics”为主题的SCI期刊论文来源数量位居前八名的期刊分别是：《MultibodySystemDynamics》《VehicleSystemDynamics》《JournalofCom-putationalandNonlinearDynamics》《MechanismandMachineTheory》《StructuralandMultidisciplinaryOptimization》《NonlinearDynamics》《InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering》和《MechanicsbasedDesignofStructuresandMachines》.其中《StructuralandMultidisciplinaryOptimization》创刊于1989年，是结构优化研究领域的专业期刊，也是国际结构与多学科优化学会(InternationalSocietyofStructuralandMultidisciplinaryOptimization，ISSMO)的官方期刊.ISSMO隔年举办系列国际会议——世界结构与多学科优化大会(WorldCongressofStructuralandMultidisciplinaryOptimization，WCSMO).最新一届大会(The13thWCSMO)于2019年5月20—24日在北京召开，北京理工大学胡海岩教授作大会唯一特邀报告“DeployableSpaceStructures:ChallengestoComputationalDynamics”，报告系统介绍了其学术团队在多柔体系统动力学建模、分析及优化方面的研究进展.另外，北京理工大学田强教授和美国Shabana教授在2018年6月召开的第18届美国理论与应用力学大会[6](18thU.S.NationalCongressofTheoreticalandAppliedMechanics，USNCTAM2018)上联合组织了多体系统动力学分论坛，并作了“StructuralandTopologyOptimizationofFlexibleMultibodySystems”的报告[7]，获得多位国际著名学者的高度评价.
下面，本文从多柔体系统动力学建模、动力学优化和部件优化等方面对国内外相关研究成果和最新进展进行回顾，并梳理值得关注的若干问题，为相关的研究者提供参考.
1多柔体系统动力学建模研究
对多柔体系统动力学开展优化设计，首先要建立多柔体系统的动力学模型，然后根据系统动力学响应或动力学特性的设计目标，通过优化设计方法寻优求解得到优化结果.因此，动力学模型是进行多柔体系统优化设计的基础与前提.
目前，对于具有小变形、小转动或低转速的多柔体系统，其动力学建模已比较成熟[2]，采用商用软件ADAMS[8]即可完成任务.但对于具有大范围运动和大变形耦合的多柔体系统，尤其是含变长度柔性部件的多柔体系统动力学建模问题，其动力学建模仍具有不少挑战.本节综述3种多柔体系统动力学建模方法，即浮动坐标方法(floatingframeofreferenceformulation，FFRF)，几何精确方法(geometricallyexactformulation，GEF)和绝对节点坐标方法(absolutenodalcoordinateformulation，ANCF)，并在每种方法中总结了含变长度柔性部件的多柔体系统动力学建模进展.
1.1浮动坐标
方法浮动坐标方法诞生于20世纪70年代[9-12]，是目前应用最广泛的多柔体系统动力学建模方法.该方法将柔性部件的位形分解为浮动坐标系的大范围运动和相对于该坐标系的弹性变形，采用浮动坐标系的刚体运动坐标和柔性体的模态坐标建立动力学模型.因此，该方法又被称为混合坐标方法.Shabana[13]详细介绍了经典浮动坐标方法的特点及其不足之处.例如，基于该方法得到的弹性力表达式简单，但惯性力表达式却具有高度非线性，造成系统刚体运动与弹性变形的惯性耦合，给动力学方程求解带来困难.田强等[2]指出，浮动坐标方法适用于对具有小变形、小转动或低转速的多柔体系统进行动力学建模和分析.
针对浮动坐标法的不足，学者们已提出若干解决方案.例如，对于高度非线性的惯性力项，Lugr′?s等[14]提出两种计算惯性力的高效方法.一种方法是通过变量映射矩阵将有限元质量矩阵映射到广义坐标上，另一种方法是在预处理阶段进行惯性形状积分计算.Orzechowski等[15]提供了一种在浮动坐标法中计算惯性力项的可靠且通用方法.对于经典浮动坐标法只能描述柔性部件小变形问题，Nada等[16]研究了采用浮动坐标法描述具有大范围运动与大变形的多柔体系统，并进行了实验验证.Das等[17]采用拉格朗日描述的协同转动法来描述柔性部件的大变形.Wu和Tiso[18]采用模态导数法研究了具有大变形的多柔体系统的降阶模型.但上述努力并未从根本上解决问题.主要原因是尚未提出一种能够同时克服浮动坐标法所有不足的改进方案，也没有提出能够描述高速转动的浮动坐标方法.
对于含变长度柔性部件的多柔体系统，已有的动力学建模方法包括基于浮动坐标描述的可变域有限元[19-20](variable-domainfiniteelement，VFE)，由于浮动坐标法的固有特性，VFE–FFRF的发展与应用并不多.
1.2几何精确方法
几何精确方法一般包含几何精确梁方法(geometricallyexactbeamformulation，GEBF)和几何精确板/壳等方法[21-27]，其中几何精确梁方法诞生于20世纪80年代[28-29]，能够高效并精确地处理梁的大转动与大变形耦合问题.在一些文献中，该方法又被称为大转动矢量方法[30](largerotationvectorformulation，LRVF)或几何精确非线性有限元方法[4,31].Shabana在综述论文[32]中介绍了大转动矢量方法的特点及其不足之处.例如，大转动矢量方法采用位移与转角相互独立的节点坐标表达梁的截面转动，这种分别插值不仅会导致坐标冗余，还会导致几何描述的巨大差异.对于某些细长结构，还会产生奇异问题和不真实的剪切力[33].此外，矢量的加法运算并不适用于有限转动矢量，比如采用3个欧拉角描述的转动矢量[34]，而在大转动矢量方法中的转动矢量插值涉及到矢量加法，这与刚体运动学的基本原理是相违背的[30].这些不足限制了大转动矢量方法在多柔体系统建模中的广泛应用[32].Shabana[35]还指出大转动矢量方法对位移场和转角场分别插值会导致空间曲线的两种不同几何形状以及不同的刚体位移.例如，对位移场线性插值在单元内部不会产生曲率，而对转角场线性插值则会在单元内部产生高度非线性的曲率，从而导致多柔体系统运动学描述的不唯一性问题.Ding等[34,36]也指出上述问题，同时还指出转角插值会降低应变能和惯性力计算的精度，尤其是大变形问题.
为了解决大转动矢量方法的上述局限性，不少学者做出了努力.例如，Jeleni′c和Crisfield[37]提出了三维梁转角的两种插值形式，可保证转角的客观性和兼容性.Betsch等[38]针对壳单元大转角提出了一种无奇异的插值形式.Ghosh和Roy[39]研究了四元数插值的几何精确梁模型，将传统的大转动矢量转变为四元数，从而使插值更加高效.Ghosh和Roy[40]还提出了一种相对转动矢量插值方式和转动矢量更新形式，可得到旋转不变性和路径无关性的结果.Bauchau和Han系统地研究了位移场和转角场的插值方式，提出的插值方式能够保证旋转张量不变性以及精度[41]，并引入辛矩阵，采用哈密尔顿力学对梁进行建模[42].M¨akinen[43]通过改变旋转流形上的参数，消除几何精确梁大转动时的奇异性.Zupan等[44]提出了一种基于四元数的三维几何精确梁理论，可满足相容条件.Zhang和Zhong[45-46]在完全拉格朗日格式(totalLagrangianformulation)下推导了二维和三维几何精确梁单元，并采用四元数法来描述梁单元的大转动，可有效避免奇异性，并且减少广义坐标的个数.Fan和Zhu[47]提出了一种无奇异的Euler–Bernoulli几何精确曲梁，采用欧拉参数来描述梁截面的转角.此后，Fan和Zhu[48-49]还提出了无闭锁问题的三维剪变梁单元.Shabana[30]提出了一种一致旋转方法(consistentrotation-basedformulation，CRBF)，采用绝对节点坐标方法的运动学描述，只定义一个转角场、采用一种插值方式，进而能描述剪切变形，避免坐标冗余问题.
近年来，基于李群描述的多柔体系统动力学建模研究引起众多学者关注.Br¨uls等[50-51]借助李群和李代数基本理论，在特殊欧氏群SE(3)中描述物体的运动，并定义适当的局部标架，对角速度进行插值，可有效避免转角的参数化问题，因此，该方法也被称为局部标架法(localframeformulation).其优点是能够统一处理节点转动与平动，使得运动方程更加紧凑、约束方程简单等.此外，基于李群描述的多柔体系统动力学优化与控制等研究也引起广泛关注.例如，空间多刚体系统动力学建模研究[52]、李群描述的几何精确梁单元研究[53]、多体系统灵敏度分析[54]、多柔体系统部件优化设计[55]、无穷维力学系统的Hamel形式[56]和球形移动机器人最优控制[57]等.这表明，李群理论已成为多柔体系统动力学研究的重要工具.
由于有限转动的不可交换性，经典的几何精确方法或大转动矢量方法通常借助共旋坐标法(corotationalframeformulation)来实现，关于共旋坐标法的详细介绍可参考综述文章[58-59]和博士论文[60].基于李群描述的局部标架法与共旋坐标法看似相似，但有着本质的区别.第一，局部标架法的局部标架定义在节点上，例如一个二节点的几何精确梁单元有两个局部标架，而共旋坐标法的共旋标架定义在单元上，即每个单元对应一个共旋标架;第二，由于局部标架定义在节点上，故可轻易地进行有限元组装，而共旋坐标定义在单元内部，无法进行组装;第三，局部标架法得到的动力学方程定义在局部标架中，而共旋坐标法得到的动力学方程定义在全局坐标系中，共旋标架只起到中间连接的作用.
对于含变长度柔性部件的多柔体系统，近年来，学者们提出了基于任意拉格朗日--欧拉(arbitraryLagrangian–Eulerian，ALE)描述的几何精确梁方法[61]，但该方法研究仍处于起步阶段.
1.3绝对节点坐标方法
20世纪90年代中期，Shabana提出绝对节点坐标方法[62-63].该方法的理论基础是连续介质力学和有限单元法，推动了多柔体系统动力学与有限元方法的紧密结合.该方法是多柔体系统动力学研究史上的里程碑，也是多柔体系统动力学的研究热点之一[2].该方法在全局坐标系下考察柔性部件的动态构型，选择单元节点的位置矢量坐标和斜率矢量坐标作为广义坐标，有效避开了有限转动的参数化问题.基于该方法建模的优点是系统动力学方程具有常质量矩阵，不存在科氏力和离心力项，约束方程描述简单、无需进行坐标转换等.此外，在惯性坐标系下，可采用统一的插值函数描述柔体的大范围转动与大变形，能精确地反映柔性部件动力学中的几何非线性.当然，绝对节点坐标方法也有其局限性.例如，该方法通常导致系统动力学方程具有很高维数和众多约束，计算效率偏低.对于线性位移应变关系，采用绝对节点坐标方法得到的刚度矩阵具有非线性，对于非线性位移应变关系，其刚度矩阵将会更复杂[64].此外，绝对节点坐标描述的单元通常还会遇到泊松闭锁[65]和剪切闭锁[66]等问题，学者们也提出了相应的解决方案[66-68].
目前，根据不同的研究背景与目的，学者们已提出了多种基于绝对节点坐标描述的梁单元和板壳单元.例如，田强等[3]系统综述了2010年之前绝对节点坐标法的单元研究进展.Gerstmayr等[69]系统地综述了2013年之前基于绝对节点坐标描述的梁、板单元的研究进展.Nachbagauer[70]详细综述了绝对节点坐标法在单元构造、高效计算格式构建与工程应用方面进展情况.王庆涛[71]和常汉江[64]也综述了基于绝对节点坐标描述的各种梁单元和板壳单元，包括缩减单元和全参数单元、黏弹性单元、超弹性单元以及单元的闭锁问题与解决方案等.Hu等[72]对绝对节点坐标法在软机器动力学建模与仿真中研究进行了综述.因此，本文不再赘述基于绝对节点坐标描述的梁单元和板壳单元，而是总结基于绝对节点坐标描述的实体单元，因为实体单元是多柔体系统中三维部件优化设计的建模基础.
近年来，基于绝对节点坐标描述的三维实体单元得到广泛关注与应用.Olshevskiy等[73]最早提出了基于绝对节点坐标描述的八节点六面体实体单元;随后又提出了基于绝对节点坐标描述的四面体实体单元[74].但Olshevskiy等[73-74]并没有推导单元非线性弹性力的计算公式，也没有给出应用算例.Wei等[75]提出两种基于绝对节点坐标描述的八节点六面体实体单元，并研究了完全拉格朗日描述下的液体晃动模型.Wei等[75]提出的第一种八节点六面体实体单元与Olshevskiy等[73]提出的单元一致，采用不完全的多项式表达，只取8个节点的位置矢量和3个方向的斜率矢量作为广义坐标，单元的广义坐标数为96.Wei等[75]提出的第二种八节点六面体实体单元则采用完全多项式表达，节点广义坐标除了位置矢量和3个方向的斜率矢量外，还包含3个二阶梯度项和一个三阶梯度项，故单元的广义坐标数为192.Pappalardo等[76]也提出了基于绝对节点坐标描述的四面体实体单元，并给出了两种参数定义方法.他们采用节点位置矢量和3个斜率矢量作为单元广义节点坐标.与Olshevskiy等[74]不同的是，Pappalardo等[76]给出了基于绝对节点坐标描述的四面体实体单元的具体细节.Pappalardo等[76]还指出，由于传统六面体单元和四面体单元不含斜率项，无法保证节点处斜率的连续性和转动场的连续性，而基于绝对节点坐标描述的三维实体单元可以解决该问题.
对于含变长度柔性部件的多柔体系统、基于任意拉格朗日--欧拉描述的绝对节点坐标方法[77-79]受到了广泛关注与应用.因此，下面对ALE–ANCF单元的研究进行综述.
2011年，清华大学任革学教授等提出ALE–ANCF变长度索、梁单元[77-79].Tang等[79]结合拉格朗日描述和欧拉描述，提出了绝对节点坐标的变长度索单元，并研究了绳系卫星的展开动力学仿真.但Tang等[79]提出的变长度索单元需事先定义边界单元故只能描述简单边界情况.Hong和Ren[78]、Hong等[77]通过引入两个物质坐标，提出了ALE–ANCF变长度梁单元.该单元可处理复杂边界情况，比如柔性绳索上的滑动铰.此外，根据单元弹性力定义，该单元既可描述变长度细长梁和绳索，又可描述不可压流体.然而，Hong和Ren[78]、Hong等[77]并没有考虑变长度梁单元的扭转.Du等[80]提出了一种仅采用节点位置矢量作为广义坐标的变长度索单元，不计单元弯曲和扭转变形，研究了绳索驱动的并联机器人.Escalona[81]提出了一种变长度索单元，通过引入一个转角坐标考虑单元扭转变形，并研究了经典的滑轮绳索系统动力学.在该研究中，Escalona[81]采用两个节点的位置矢量、两个物质坐标和两个扭转角作为广义坐标，没有采用节点斜率坐标.因此，根据Shabana[63]关于绝对节点坐标法的定义，Du等[80]和Escalona[81]所提出的变长度索单元并不属于绝对节点坐标单元.Yang等[82]对上述变长度的索、梁单元进行综合，提出一种新的ALE–ANCF变长度梁单元.该单元采用两个节点的位置矢量、斜率矢量、两个物质坐标和两个截面扭转角作为广义坐标，从而可描述变长度梁结构的扭转变形.
多柔体系统动力学建模与优化研究进展相关期刊推荐：《应用力学学报》(双月刊)1984年创刊，是中央级学术刊物。《应用力学学报》主要反映现代力学在工程实际中的应用，及时交流运用控力学理论、计算方法和实验技术在解决工程实际问题中取得的新成果。涉及内容包括流体、振动、强度等方面的问题。
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