摘要：现有的无线电能传输技术均是以整数阶系统理论为基础提出和构建的，传输特性对传输距离、系统参数变化敏感，抗干扰能力弱，难以适应实际需要。因此，探索新型无线电能传输机理和技术将是一个长期的研究课题。受益于分数阶微积分的快速发展，分数阶无线电能传输机理和技术被提出。不同于传统整数阶系统，分数阶无线电能传输系统利用其所特有的记忆特性、负电阻特性和频率特性，可以实现高效率、高抗干扰的中距离无线电能传输，且系统设计灵活，可以满足多种场合的需要。为此，文中介绍了分数阶无线电能传输机理的提出过程及研究进展，分别从分数阶微积分、分数阶元件及电路、分数阶无线电能传输机理等方面进行阐述。最后，与现有整数阶无线电能传输系统进行了对比，结果表明所提系统的传输效率和输出功率具有对距离和谐振频率变化不敏感的特性。
关键词：分数阶电路;无线电能传输;自治系统;耦合模理论
0引言
无线电能传输(wirelesspowertransfer，WPT)技术自19世纪90年代被提出以来，一直受到国内外的密切关注。近10年来，WPT技术从机理研究到产业化都取得了长足的发展。特别是2007年，美国麻省理工学院的Soljacic教授受光学传播原理的启发，提出了基于磁耦合谐振的WPT技术，使发射侧与接收侧产生能量交换和振荡，形成一个能量最大传输通道，实现了2m距离下60W的功率传输，效率达到40%[1]。该技术突破了感应WPT技术的理念，具有传输距离较远、灵活性较高、传输功率等级较宽、能量只在同谐振频率的物体间高效传输、不同谐振频率之间基本无能量交换、对传输介质依赖小以及对电磁环境影响小等优点[2]，可以说是WPT技术的一个里程碑式进展，极大激发了全球WPT技术研究的热潮。
美国斯坦福大学的范汕洄教授于2017年在Nature杂志上发表了基于量子宇称-时间(paritytime，PT)对称原理的WPT技术，实现了0.7m范围内约19MW恒定功率和90%以上恒定传输效率的稳定电能传输[3]。PT对称原理也称为镜像对称原理，它通过控制使发射侧与接收侧互为镜像，构建了一个具有PT对称结构的非厄米传输系统。在强耦合区域内，该系统具有纯实数特征根，可实现增益和损耗之间的平衡。因此，系统的传输功率和效率在强耦合区域内对传输距离变化不敏感，即传输功率和效率在强耦合区内保持恒定不变[2]。该技术虽然传输功率极小，但在WPT领域引入了一个新的理念，为WPT的机理研究打开了一扇新的大门，也是量子理论在WPT技术中的首次应用，可以说是继2007年磁耦合谐振WPT技术后，又一个里程碑式的进展。
虽然磁耦合谐振和PT对称理论促进了WPT技术的进步和发展，但仍存在不少固有瓶颈问题。例如磁耦合谐振WPT技术对谐振频率十分敏感，但谐振电感和电容的阻抗随材料、频率、工作环境、工作寿命而发生变化，会导致失谐，无法实现电能高效的无线传输。因此，谐振频率的稳定控制是谐振WPT的关键。此外，近距离传输会出现功率分裂现象，导致传输特性对负载和距离的变化十分敏感，无法稳定传输功率。PT对称WPT技术，要求发射侧与接收侧固有频率一致，同样面临接收侧失谐或负载的变化影响系统性能的难题。在大功率应用中还要解决PT对称WPT系统的电源问题，这些均导致其难以进一步的产业化。为此，探索和发现WPT的新机理任重道远，也是实现更远距离、更大功率、更高效率的WPT技术的必由之路。
目前，关于WPT机理的研究均集中在基于整数阶的数学模型上，然而越来越多的研究发现实际生活中的电感和电容均是分数阶的。此时，基于分数阶微积分的建模方法才可以更加准确地分析出分数阶电路系统所具备的特性。特别是当分数阶阶数偏离整数阶阶数较大时，如果继续使用传统整数阶模型来分析，不仅会使结果失准，而且难以挖掘出分数阶电路系统所独有的特性。分数阶微积分理论已经在建模和控制等方面体现出了整数阶系统无法比拟的优势，但在WPT领域还未被深入研究。本课题组受实际电感和电容的分数阶本质和分数阶微积分理论的启发，提出了一种新型的基于分数阶电路原理的WPT技术，在国家自然科学基金重点项目支持下开展了系统研究。目前的研究成果表明，基于分数阶微积分理论的分数阶WPT不仅涵盖了感应和谐振WPT，且在特定条件下具有PT对称WPT的特性，能够在中距离范围内实现恒功率、恒效率的WPT，并具备抗接收侧频率失谐或负载变化、360°方位变化的独特优点。
为便于理解分数阶WPT机理，本文首先简要介绍了分数阶微积分理论的基本定义和发展历程。然后，介绍了分数阶元件的基本特性，并分析了2类基本分数阶电路。接着，基于耦合模理论，分别介绍了分数阶非自治、自治WPT机理，并从原理、结构和特性等方面与现有整数阶WPT系统比较，从而直观地了解分数阶WPT技术的特点。最后，对分数阶WPT技术尚需攻克的问题、可能的研究方向和发展前景进行展望。
1分数阶微积分理论
分数阶微积分是相对于传统的整数阶微积分提出的，将传统的整数阶微积分运算阶次推广为分数[4]。长久以来，分数阶微积分一直停留在纯数学的理论推导。因缺乏物理等背景学科的推动，分数阶微积分的发展也较为缓慢。随着人类对自然科学的深入认识，许多物理过程及现象无法用经典的整数阶微积分来表征，分数阶微积分开始展现出其独有的价值，被广泛用来描述具有分数阶特性的对象，更准确地揭示众多物理系统及过程的本质特征和物理机理。
1.1发展历程
分数阶微积分的诞生可以追溯到Leibniz和Newton创造微分学的时代[5]。在Leibniz与L’Hospital来往的信件中，2人讨论了如果微分阶次为1/2会发生什么，而Leibniz回信道：这将导出一个自相矛盾的论点，总有一天人们可以由它导出有用的结论。这一天正是1695年9月30日，也就是分数阶微积分的诞生之日。最早对分数阶微积分做出理论贡献的是Euler和Lagrange，Euler在1730年对微分阶次为分数的情形给出了自己的解释[6]，而Lagrange则是在1772年给出了整数阶微分运算阶次的可叠加性，但未给出该性质是否适用于分数阶微分运算的明确结论[7]。
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1822年，Fourier给出了分数阶微分的傅里叶定义[8]。一直到1823年，Abel首次应用分数阶微积分求解等时曲线的积分方程。1847年，Riemann在Liouville的工作基础上，进一步研究分数阶微积分的定义，提出将泰勒级数展开推广函数融入到分数阶微积分定义中，并于1853年提出了定积分形式的分数阶微积分定义[9]。随着分数阶微积分理论的进一步发展，Grünwald在1867年消除了Liouville方法的限制，采用差商的极限，给出了q阶导数的定积分解析式。而Letnikov在不知道Grünwald分数阶微积分定义式的情况下，于1868年用同样的方法得到了另一种表达式，即被广泛应用的GrünwaldLetnikov(GL)定义。1890年，Krug在将柯西积分公式推广到任意阶时，发现Riemann和Liouville的定积分下限不同，并形成了第一个较为完整的Riemann-Liouville(RL)分数阶微积分定义。1967年，Caputo给出了更便于应用的分数阶微积分的定义。
1.2基本定义
在300多年的发展历史中，分数阶微积分被众多研究者从不同角度给出了不同的定义，但无论是哪一种定义都有其局限性，故至今还没有一个统一的定义。较为常用且广泛被认可的定义有GL定义、RL定义和Caputo定义。
1.3应用
21世纪是分数阶微积分理论被广泛应用的元年，分数阶微积分系统又被称为“21世纪系统”，其在各个工程领域都取得了成功的应用，包括电化学、生物医学、控制理论、电气工程等。
在电化学领域，分数阶微积分理论的首次应用源于1971年Ichise等人利用分数阶微积分研究电化学中扩散过程的传递函数[13]。随后，Isabel等人利用电解过程模拟分数阶电容，研究影响容抗的因素[14]，Krishna等人通过在电极上覆盖聚甲基丙烯酸甲酯薄膜的方法构造了一种恒相位元件，其阻抗特性在特定频段内近似等于0.1阶分抗元件[15]。在生物医学领域，早在1933年，Cole就给出了生物体细胞膜电导的分数阶表征形式[4]。在控制领域，分数阶微积分因其特有的“记忆特性”，相对于整数阶具有更加精确的控制效果，被大量应用于反馈控制、信号及图像处理、系统观测等方面。1960年，Manabe首次提出了分数阶控制的理念。随后，Oustaloup创立了非整数阶鲁棒(CRONE)控制[16]，这种CRONE控制器比传统比例-积分-微分(PID)控制器更具优势，且物理含义更明确，是目前工业控制领域应用最广泛的分数阶控制方法之一。1999年，Podlubny提出了分数阶PIλDμ控制器[8]，在传统PID控制器的基础上增加了能够影响系统性能的微分和积分阶次，具有更好的响应效果和稳定性，为分数阶控制理论的发展奠定了基础。
在电气工程领域，1961年，Carlson和Halijak首次提出了分数阶电容模型[17]。1994年，Westerlund发现整数阶微分不能精确描述电容特性，利用分数阶模型可以更好地描述电容[18]。此后，大量研究将整数阶电路模型推广到分数阶电路领域，Radwan等人研究了基于分数阶元件的阻抗匹配网络和分数阶RCα、RLβ、LβCα、RLβCα电路的基本特性[19]，提出了分数阶滤波器的实现方法，并讨论了分数阶滤波器的基本性质。此外，分数阶混沌电路[20]、分数阶DCDC变换器[21-22]、分数阶振荡电路等新型电路也受到了广泛的研究。
2分数阶元件及电路
在经典电路理论中，理想的电感和电容的伏安特性都是满足整数阶微积分的，这一简单的数学关系也广泛地应用在电气工程领域。但在现实世界中，整数阶元件是不存在的，只是用整数阶来近似，采用整数阶微积分来分析电路存在的固有的不精确性。因此，应用分数阶微积分能够更准确地描述自然中各种复杂的物理特性和过程，还可以利用分数阶元件的特性提高电路的性能，发现新的电路特性。因此，分数阶微积分拓宽了电路研究、分析和应用的思路。
3分数阶非自治WPT机理
根据系统动力学方程是否随时间t变化，分数阶WPT同样可以分为分数阶非自治WPT和分数阶自治WPT。本章将对分数阶非自治WPT的电路结构、模型和特性进行讨论和分析。
3.1系统电路及其耦合模型
分数阶非自治WPT系统电路的构成方式多样，包括：①完全采用分数阶元件构成;②采用分数阶元件与整数阶元件混合。因此，按照串联-串联型、串联-并联型、并联-串联型和并联-并联型4种拓扑形式排列组合，有4×34=324种基本电路结构[30]，显然比整数阶的串联-串联型、串联-并联型、并联-串联型和并联-并联型4种基本电路结构丰富得多。——论文作者：张波1，荣超1，江彦伟2，疏许健1
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