摘要在传统弹簧-振子局域共振基础上，本文并联倾斜弹簧负刚度机构，提出一种新型的准零刚度局域共振型声学超材料板，以实现低频宽频带有效隔声.首先，从动力学角度推导准零刚度结构的归一化等效刚度;然后，基于等效介质法建立声学超材料板的隔声理论模型，并通过理论分析和数值模拟(有限元)结果，讨论其在正负等效刚度区的隔声效果;最后，为验证理论预测的准确性，制备准零刚度超材料板样件并采用阻抗管对其进行测试.结果表明：在正刚度区，增大弹簧的刚度比或预压缩量可显著降低超材料板的局域共振频率，如在10Hz附近获得30dB的传输损失，实现了超低频隔声.在负刚度区，超材料板不产生局域共振现象，且可避免“吻合效应”引起的隔声低谷现象，故可在53—1500Hz宽频段内实现大宽带隔声(大于30dB)，相较传统材料或类似的超材料具有显著优势.进一步利用理论模型，从等效质量面密度、反射系数和声阻抗率等多个角度，分析了超材料板的隔声机理，在隔声峰处发现了负的等效质量密度，且隔声谷处产生了低频“吻合效应”.本文提出利用准零刚度局域共振思想实现低频宽带隔声的方法，克服了传统超材料需减小刚度或增大附加质量的不利特性，对低频隔声结构的设计具有重要的理论指导意义.
关键词：超材料;局域共振;准零刚度;低频隔声
1引言
中高频噪声通常可采用吸音棉、穿孔板等方案进行有效控制.相较而言，由于低频声波(20—400Hz)在传播过程中的穿透能力强，难以衰减，目前对低频甚至超低频声波的抑制尚未形成较好的方法[1-2].近年来，声子晶体和声学超材料在国内外实现了快速发展，为解决该难题提供了新的思路.作为一种亚波长复合微结构[3]，通过巧妙设计结构单元的微结构排布位置和方式，声学超材料可在宏观上表现出天然材料所不具备的声学性能，如负等效质量密度[4]、负等效模量[5]、负折射和平面聚焦[6]等，进而实现“声隐身”[7]、“完美透镜”[8]和“低频吸声”[9]等新颖应用.
基于对声波的控制机理，可将声学超材料分为Bragg散射和局域共振两大类.Bragg散射指的是微结构周期变化的材料和弹性波相互作用，会使某些频率的波在材料中无法传播，即产生Bragg散射带隙[10].但是，波长和晶格尺寸处在同一量级才产生Bragg带隙，故Bragg散射仅能抑制高频声波.2000年，Liu等[11]以粘弹性软材料包裹铅球组成简单立方晶格结构镶嵌于环氧树脂中，构建了一种三组元声子晶体，其禁带的对应波长大于晶格尺寸两个量级，突破了Bragg散射机理的限制.目前，虽然采用三组元声学超材料可取得较好的低频隔声性能，但其制备和使用均存在较大局限.
相较而言，二维薄膜/薄板型声学超材料具有更大的应用价值,获得了广泛关注[12-16].Yang等[17]发现，在薄膜中央附加一质量块，可在两个最低本征频率之间的某个特定频率处实现声波的全反射，且该频率附近具有负的等效动态质量密度：实验结果表明，该设计在100—1000Hz频段内具有良好隔声效果.贺子厚等[18]设计了一种带附加质量的薄膜底面Helmholtz腔吸声结构，基于有限元法预测了其在20—1200Hz内的传输损失，发现其隔声性能较单一Helmholtz腔或薄膜声学超材料更好.贺子厚等[19]还将压电质量块嵌入薄膜，设计了一种共振频率可调的声学超材料，并分析了其隔声机理.与薄膜型声学超材料类似，可大致将薄板型声学超材料分为三种形式：(1)在薄板上穿孔，构造穿孔板结构;(2)在薄板上构造Helmholtz共振腔;(3)在薄板表面附加弹簧-质量块.通过在薄板上附加周期性的“弹簧-质量”共振单元，Xiao等[20]构造了一种局域共振型板结构，运用平面波展开法计算了其局域共振带隙，分析了带隙的产生机理和调控规律;在此基础上，Xiao等[21]进一步分析了这种局域共振板的低频隔声性能，发现其在共振频率处具有超乎寻常的隔声量.值得指出的是，采用局域共振型薄膜/薄板结构降低隔声峰值频率，一般通过增大质量块的质量或减小弹簧的刚度实现，但增大质量会提高整体的面密度，过度减小刚度则使弹簧无法满足基本的承载功能.因此，基于这类局域共振板，如何实现低频甚至超低频隔声仍然是一个难点，有必要探索新的低频宽带隔声方法.
针对低频弹性波的控制，学者们提出了一种非线性准零刚度隔振器，其基本原理是将正刚度结构与负刚度机构并联，该组合系统在静平衡位置的组合刚度为零，但其初始组合刚度并未降低.准零刚度系统具有高的静态刚度和低的动态刚度，亦称“高静低动”系统，其构造形式多样化，如“压杆屈曲系统”[22]、“双倾弹簧系统”[23]、“扭转磁力弹簧系统”[24]等.
目前，国内外多采用准零刚度系统抑制振动，未见基于准零刚度隔振器概念构建低频宽带隔声板结构的相关研究.本文在薄板上周期性布置准零刚度谐振单元，创新地提出一种准零刚度局域共振型声学超材料板，采用理论、仿真和实验相结合的研究手段，对其隔声特性和机理进行系统分析和讨论，以期对低频乃至超低频隔声提供新的概念和方法.
2模型建立
2.1准零刚度局域共振结构
如图1所示，本文提出一种准零刚度局域共振型声学超材料板，由方形金属薄板(铝板)及周期分布其上的准零刚度谐振单元组合而成，其中：A代表铝板，厚度h=4mm，元胞尺寸a=25mm;B为准零刚度谐振单元的外围框架，材质为环氧树脂，尺寸H=8mm，l2=2mm，壁厚t=1mm;C为质量单元，质量m=0.1kg，材质为铅，尺寸l1=3mm;D为弹簧(包括竖直弹簧和倾斜弹簧，其刚度分别为k1=10000N/m和k2=8000N/m)，弹簧端部与质量块和框架、框架与基板均采用胶接的方式连接.无外力作用下，取系统的平衡态位置为初始静平衡位置：此时，倾斜弹簧处于水平位置，其压缩后的长度为d，原长为l，竖直弹簧的压缩力与质量块重力相平衡.声学超材料板的相关材料参数(密度、杨氏模量和泊松比)列于表1.
2.3有限元模型
利用超材料板的周期性，建立如图3所示的有限元模型开展数值仿真，计算其反射系数、透射系数和传输损失等声学特性,以验证理论模型的准确性.模型整体采用实体化建模，计算域分三部分，其中I为入射声场、II为超材料板固体域、III为透射声场，声场介质为空气，定义1S和S2所在两端域为完美匹配层，完美匹配层尺寸Ma=0.5，同时定义I、II、III和完美匹配层域的四周为Floquet周期性边界以模拟无限大结构;采用声-结构耦合模块，谐振单元则采用集总机械系统建模(见图3(b))，节点1、2之间为等效弹簧，节点2、3之间为质量块，节点1与基板中心耦合传递力与位移，节点3为自由节点.为保证计算精度，计算域尺度取La=4，声场网格最大单元尺寸取声波最小波长的六分之一，固体域采用自由四面体网格，同时对超材料板的界面网格进行加密.
3数值仿真与讨论
3.1隔声机理
采用理论计算和数值模拟，分析了三种结构的隔声性能，包括：1)准零刚度局域共振型声学超材料板(Quasizerostiffnessplate，简称QZS);2)传统弹簧振子板(Massspringplate，简称MSP);3)无振子板(Non-oscillatorplate，简称NOP).假设声激励的入射角q=60，方位角j=0，入射声压幅值1Paip=，空气的密度0r=1.2kg/m3，声速0c=343m/s，计算所用结构参数列入表2.
图4给出三种板结构的隔声曲线，可见本文理论模型(Equivalentmediummethod，简称EMM)结果与数值仿真(Finiteelementmethod，简称FEM)非常吻合，验证了理论模型的正确性.对比三种结构的隔声效果发现，基体参数保持一致情况下，准零刚度超材料板和传统弹簧振子板在低频段的隔声效果更好，前者还可显著降低局域共振频率.预压缩量调节为0.2时，准零刚度超材料板的局域共振频率为22.5Hz，较传统弹簧振子板(50Hz)减小了一半，故更具优势.为进一步分析准零刚度超材料板的隔声机理，图5(a)给出三种声学板结构的等效质量面密度.特定频率下，相较于无振子板,准零刚度超材料板和传统弹簧振子板均可显著增加系统的等效动态质量面密度，进而实现低频段的超常隔声效果.图中蓝实线显示,在22.5Hz附近(图4中的隔声峰处)，准零刚度超材料板的等效质量面密度趋于无穷：结合式(6)可知，此时入射声激励频率与准零刚度谐振单元的固有频率一致(即2201/0)，局域共振单元发生共振.振子在平衡位置上下往复剧烈振动，导致声能集中于谐振单元：此时，结合图5(b)三种结构的反射系数曲线，准零刚度超材料板的反射系数趋近于1，声波呈现近乎完美的全反射和图6(a)的声压云图反映一致.在局域共振处，图5结果还显示等效质量面密度趋于无穷，且由正变负：负的等效质量密度表明其具有偶极子振动模式(见图5(a))，此时弹簧振子相当于一质量块，局域共振时，质量块与薄板反相位振动，系统总的外力与总的加速度反相，故产生负的等效质量密度.从振幅上看，图5(a)表明在局域共振附近，振子的振幅相比薄板更大，吸收了基板的能量，从而表现出超乎寻常的隔声效果.
3.2参数调控
如前所述，调节弹簧的刚度比或预压缩量，均可使准零刚度单元的等效动刚度从正变化为负.首先，基于理论计算，讨论等效动刚度为正的情形.分别固定预压缩量和刚度比，选取五种参数组合开展讨论，具体调控参数见表3，其余参数与前文保持不变，图7(a)和(b)给出相应的隔声曲线.保持预压缩量d=0.2不变，增大刚度比可使局域共振频率向低频移动：在39Hz局域共振频率处，峰值隔声量达80dB，具有显著隔声效果.类似地，固定刚度比g=0.4不变，当预压缩量d=0.376时，局域共振频率降低为10Hz，隔声量达30dB，实现了20Hz以下的超低频隔声.总体而言，在正等效刚度范围内，增大预压缩量或刚度比均可使局域共振频率向低频偏移;相较于刚度比，系统对预压缩量的敏感度更高，且后者更易于调节.
其次，讨论等效动刚度为负的情形;选取的四种代表参数列入表4，其余参数仍与前文保持不变，计算结果见图8，表明在结构的负刚度区，可实现低频大宽带隔声效果.刚度比或预压缩量越大，隔声效果越好，且整个频段未出现明显的隔声峰值及谷值.
进一步，在正/负等效刚度区，图9(a)对比了准零刚度超材料板和无振子板的隔声曲线.结果显示，在正等效刚度区(d0.2且g=0.8)，虽然超材料板可实现任意低频段的超常隔声，但仅在局域共振频率附近隔声效果良好，且由于出现低频“吻合效应”，引发显著的隔声谷值现象，低频隔声的有效带宽较窄.与此相反，在负等效刚度区(d=0.8且g=0.8)，超材料板不产生局域共振现象及低频“吻合效应”，可实现低频大宽带的隔声目标：相较于无振子板，处于负等效刚度区的超材料板可在53—1500Hz的宽带范围产生大于30dB的隔声量，优势明显.需要强调的是，传统弹簧振子板无法通过改变弹簧刚度和质量实现负等效刚度效应：该效应是本文提出的准零刚度超材料板的独有特性.——论文作者:胥强荣1)沈承1)2)†韩峰1)3)卢天健1)†
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