本篇教师论文发表，探讨中学数学教学适度变式走出误区。《中学数学教学参考》创刊于1972年，是由教育部主管、陕西师范大学主办的数学教学期刊。在全国“中学数学”杂志中，它的创刊时间虽不是最早，但连续出刊的时间最长。办刊宗旨：真诚地为中学数学教学服务，为中学数学教师的专业化水平提升服务。内容要求：求新(意)、求实(用)、求特(色)、求识(见)，尤其在当前新课程改革中，已成为我国中学数学教育领域的专业主流媒体。
期末复习时，练习册上的一道判断题(如下图)，错误率竟然高达66.7%。
我重新看了一遍题目，认为此题并无多大难度，可学生为何纷纷判错呢?为了了解学生的真实想法，我找来一名做错的学生进行了访谈。
师：判断题中的公式你见过吗?
生：这是求圆环面积时使用的简便方法呀!
师：那你为什么判错呢?
生：这个图形不是圆环，面积公式肯定不对。
师：那么，能否用S=πR2-πr2这个公式呢?
生(毫不迟疑)：不能，这不是一个环形，不能用。
师：难道这个公式只适合求环形面积吗?
生：不太清楚，反正我们学的环形面积就是这样计算的。
师：你再想想……那你能告诉我这个阴影部分面积怎么求吗?
生：大圆面积减去小圆面积。
师：既然如此，刚才的公式不就能用了吗?
生：可是这两个圆的圆心没有在一块儿啊……嗯，好像不能吧。
此生开始犹豫起来。
如果仅仅把这道题看作一般的错题让学生找错、纠错，似乎也没有什么，但该生短短的几句话却让敏感的我思考良久。
【思考】
在教学圆环面积时，教师通过生活中的光盘等实物让学生了解圆环形状，学生都知道求圆环面积要用大圆的面积减去小圆的面积，思路非常清晰;之后，教师引导学生发现其中的简便方法，使得解题变得简捷快速。课堂进行到此，仿佛一切问题都大功告成，简便方法已经“深人人心”，接下来的练习做起来更应该得心应手。没想到的是，经历了几个单元的学习之后，学生头脑中留下的认识竟然被一道小小的判断题“击破”。作为教师，我们究竟是发展了学生的思维能力，还是阻碍甚至误导了学生?想到此，心中不由地忐忑不安起来。我们的教学到底哪里出错了?
1.是“数形结合”的问题吗?
众所周知，数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想能使抽象的数学问题直观化、生动化，能变抽象思维为形象思维，有助于学生很好地把握数学问题的本质，从而顺利解题。在教学圆环面积时，教师出示圆环图，先让学生独立思考，然后动画演示圆环形成的过程，学生很容易发现面积计算公式，而且学习效果很好。难道这样的过程也值得怀疑吗?其实，认真分析后不难发现，我们的教学目标指向圆环的面积，课堂中一般只出现圆环这种图形，很容易使圆环的图形与相应的计算公式成为“一一对应”的关系，即只有这样的图形才可以用这样的公式，只有这样的公式才能解决这样的图形问题。于是，“思维定势”便形成了，一旦出现非圆环图形，学生便从心理上排斥和否认这个一般性的计算公式，从而出现了上面访谈学生的模糊解释。可以看出，数形结合并无错，只是缺少必要的拓展延伸，无法让学生对简便公式有全面的认识。
2.是“简便方法”的问题吗?
计算圆环面积除了一般方法之外，还可以利用乘法分配律推导出简便方法，且这种简便方法很容易被学生发现，计算起来确实“事半功倍”。这种心理认同能够激发学生探究的欲望，为后续的数学学习增强自信心。但不能否认的是，这样简便的同时给部分不甚理解的学生带来了误解的可能，他们会认为只有圆环面积才可以使用这种简便方法。这从以上访谈中也可以看出。其实，这种现象并非只在这里出现，如长方形周长公式和长方体的表面积公式都是一种简便的计算方法，经常出现学生死套简便公式，不能根据实际情况灵活应用的现象。由此，我们在教学时要注意让学生考虑到简便方法的适用范围。
【探究】
为了改进我们的教学，让学生走出认知误区，完善对计算公式的认识，我在教学圆环面积时，适度变式，将课堂延伸至问题更深处，取得了较好的效果。
在教授完圆环面积，经过一定的巩固练习之后，让学生继续思考下面图1的面积。
师：这个图形与我们刚才所见的环形有什么不同吗?
生：阴影部分不是一个环形。
生：图中小圆的位置发生了移动，两个圆的圆心不再重合。
师：阴影部分的面积发生变化了吗?你能求出它的面积吗?
学生独立思考，先用一般公式做出来，发现面积并未改变。
师：能否使用简便方法呢?你又发现了什么?
生：能，虽然不是环形，但同样可以使用刚才的公式，因为大圆和小圆的面积都没变，所以阴影部分的面积也不变。
师：真是这样吗?我们继续探究。这两个图形中的阴影部分面积你又怎么求呢?(出示图2、图3)
生(不假思索)：也用这两个公式。
师：一定吗?是不是只有圆环才能使用这两个公式呢?
生：一定，小圆移动位置后也可以用这两个公式。
生：一定，因为不管里面的小圆在大圆里怎么移动，阴影部分的面积是不变的，都是用大圆面积减去小圆面积，所以都可以使用简便方法——S=π(R2-r2)。
生：只要这两个圆的面积不变，求阴影部分的面积都可以用这两个公式。
看到学生逐步突破认知局限，我又即兴抛出一个问题。
师：那好，老师再给你们一点挑战。下面这个组合图形的阴影部分面积如何求?
生：可以用大圆面积加上小圆面积，即S=πR2+πr2。
生(兴奋地)：老师，我知道可以用简便方法——S=π(R2+r2)。
其他学生也都附和表示同意，每个人的脸上都绽放出灿烂的笑容。
【意外结束】
“老师，我还有一个问题。”就在我准备“鸣金收兵”时，突然一个微弱的声音出现了。“哦，你说吧，什么问题?”我赶紧回应。“如果小圆和大圆交叉，又如何求出阴影部分的面积呢?”问题一出，全班像炸了锅一样，“就是，就是，这个问题我怎么没想到呢?”“这个问题提得很有价值，我们下课继续探究好吗?”此时的我似乎被意外击晕，真是没想到啊，学生的思维一旦打开，竟然大大超出我们成人的想象。我们不是一直在提倡让学生发现问题和提出问题吗?如此看来，只有当我们教师善于发现问题、提出问题，才能更好地引领学生走得更远。
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