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方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。
分类讨论思想:分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。
数形结合思想:数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用了图示法,所以,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。
这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
整体思想:整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的“+,-”符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。
化归思想:化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2=11,xy=1求x2+y2的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,则易得:原式=9;又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程(组)通过“消元”、“降次”最后求出方程(组)的解等也体现了化归思想;化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一。又如,对等腰梯形有关性质的探索,除了教材中利用轴对称方法外,还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法,把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
除此之外,很多知识之间都存在着相互渗透和转化:多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
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《数学教学研究》(月刊)创刊于1987年，是由甘肃省教育厅主管、西北师范大学主办的以教学和研究为方向的学术性与普及性相结合的刊物。荣获甘肃省首届优秀科技期刊奖。
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