摘要：基于经济学MRW模型，利用给定的资本存量时间序列数据，采用Tikhonov正则化的1阶数值微分估计方法和最小二乘法，对非稳定状态下的资本产出弹性的资本储蓄率进行估计，数值模拟验证了该算法的有效性，并借助我国1996—2011年的统计数据进行了实证研究.本文的估计方法为动态反映特定国家(或省、市)资本产出的弹性变化及经济增长研究提供了新思路，也为资本储蓄率的估算提出了新方法.
关键词：MRW模型;Tikhonov正则化;最小二乘法;经济增长模型
经济增长理论为研究或阐述经济增长规律与影响因素的理论.经济增长具体指一个国家或地区所生产的商品和劳务能力的增长.经济学家建立各种经济模型来描述一种经济体所生产的物质商品和劳务(即实际总产出)，并考察它均衡增长的条件，18—19世纪，古典经济学家亚当·斯密(AdamSmith)和大卫·李嘉图(DavidRicardo)创立了古典经济增长理论，注重劳动力和资本，而知识和技术则被视为外生因素.到了20世纪50年代中期，罗伯特·索罗(RobertSolow)[1]以技术进步论为中心的新古典增长模型，指出技术进步才是经济增长的主要动力.索罗增长模型将经济增长理论研究由外生增长引入了内生增长的道路，为经济增长研究打开了一扇新的大门，之后几乎所有与经济增长有关的理论分析均以它作为参照点.20世纪90年代，格里高利·曼昆(GregoryMankiw)、大卫·罗默(DavidRomer)及大卫·威尔(DavidWeil)[2]在证明新古典增长模型的有效性的同时，在索罗模型的基础上增加了新的变量———人力资本的积累，论证了引进人力资本增量的必要性，并且利用1960—1985年期间的121个国家的经济数据做了实证分析，为之后相关的实证研究提供了很好的起点.这个模型对现今的经济增长研究依旧具有重要的价值.例如余长林[3]通过拓展MRW模型来分析人力资本投资结构对经济增长的影响，并利用了中国29个省市的经济数据进行了实证研究;严成樑[4]也是在拓展的Mankiw-Romer-Weil(MRW)模型框架下，研究了资本投入对我国经济增长的影响，根据我国31个省的数据做了实证分析，并且估算了我国资本投资的回报率等;李强[5]在MRW模型的基础上做实证研究，将技术进步和人力资本都作为内生因子来讨论稳态增长条件.
常见的MRW模型分析都是在稳定状态下进行的，即物质资本和人力资本的增长为零，并利用线性关系式来估计参数，在进行实证研究时选择多个国家或者多个省市的数据进行回归和参数估计.本文认为估计所得的参数并不能恰当地描述多个国家和省市的真实情况.因为不同的国家不仅在技术增长率、资本折旧率等方面存在较大差异，在人力资本的结构和劳动人口增长上也各有不同.Mankiw等的文章[2]在末尾也指出未来的研究方向应是如何去解释在索罗模型中被认为是外生的变量在国与国之间为什么会有较大的差异;同时税收政策、教育政策和政治稳定性也是国家之间经济差异的重要决定因素.此外，曼昆等在论证MRW模型时利用了1960—1985年期间121个国家的数据作为样本数据，并且利用的是普通最小二乘法(OrdinaryLeastSquares)，但是通过对论文附表数据和模型本身的分析，可以发现不仅样本数据存在缺失和可能的误差，而且在参数估计时并没有涉及到数据误差的考量和处理.
因此，本文提出一种基于MRW模型的Tikhonov正则化算法，在非稳态条件下对参数进行估计，并在实证分析时利用单一国家的时间序列数据，对单个国家的经济数据进行更合理的估计，估计随着时间推移可以灵活变动，而不仅仅是针对稳定状态.
1反问题归结
1992年，Mankiw等[2]在索罗增长模型的基础上提出了新的MRW模型，MRW模型在索罗增长模型的基础上加入了人力资本的积累，生产函数变为
3数值模拟与实证研究
3.1数值模拟
为了验证算法的有效性，本文在已知α，β，n+g+δ，sk和sh的情况下，给出k(t)和h(t)的时间序列数据.然后利用这一数据，采用第2节设计的算法来估计α，β，n+g+δ，sk和sh.如果估算值和我们已知的数值相当接近，即可证明我们的算法是有效的.已知α，β，n+g+δ，sk和sh，利用Matlab中的ODE45(Runge-Kutta算法)，可以求出k(t)和h(t)的高精度近似值.本文采用Mankiw等在文献[2]中对α，β，n+g+δ，sk和sh所估算的1组数据，这1组数据在原文中经过了统计检验和经济含义分析，是有效的估算结果.我们将这1组数据作为真实值，进行数值模拟的结果如表1所示.其中：R2用来衡量回归模型整体的拟合度，R2最大值为1，R2的值越接近1，说明拟合程度越好;反之，R2的值越小，说明回归直线对观测值的拟合程度越差;F是对回归模型整体的方差检验;P是判断F检验是否显著的标准.
从表1和图1中可以看到，2组回归估计的结果和真实值相当接近，这验证了本文算法的有效性，能够对α，β，sk，sh做出较为准确的估计.
3.2实证分析
3.2.1数据来源
1)国内生产总值(GDP)指按照市场价格计算的1个国家(或地区)所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果.该指标即为生产函数的右端项，用于检验估计得到的值是否有效，是否符合MRW模型的生产函数.
2)全社会固定资产投资是指以货币形式表现的在一定时期内全社会建造和购置固定资产的工作量以及与此有关的费用的总称.它可以用来反映固定资产投资规模、结构和发展速度.本文利用这一指标来近似替代K(t)，即物质资本存量.
3)人力资本存量的估算在学界目前没有被普遍认可的方法，常见的有“成本法”、“成本加权法”以及永续盘存法等.国内有多名学者给出了我国不同时间段的人力资本存量的估算结果.本文考虑两方面因素：尽可能与其他指标相匹配的年份区间以及文献中估算结果的合理性分析，最终采用了乔红芳和沈利生[8]给出的1978—2011年我国人力资本存量的估算数据.他们的估算方法将直接教育、医疗保健和文教娱乐消费作为人力资本投资的成本，并创新地引入了教育投资时滞的概念，更加客观地描述不同年龄、不同学历从业人员的真实教育成本.
4)对于L(t)，选择的是国家统计局给出的经济活动人口数.该指标表示在16周岁及以上，有劳动能力，参加或被要求参加社会经济活动的人口n.采用的是经济活动人口增长率，根据L(t)的数据估计为0.008.
5)对于综合科技水平A(t)，没有找到专门的文献来对这一指标进行描述和提出估算方法.本文采取的做法是根据MRW模型中假设的A(t)以不变的速度增长，
6)资本折旧率根据文献[10]的数据，对选定的年份区间的折旧率取平均值，结果为0.107.
7)原始数据误差水平并没有准确的数据，本文假设为0.01.由4)，5)和6)，可以得到n+g+δ的值为0.25.最终综合所有可获得的数据，选取共有的年份区间，得到1996—2011年回归所需的基本数据.
由表2可以看出含h(t)的回归的结果最好，它的残差r在(-0.1，0.1)内上下波动.而效果最差的是含k(t)的回归，有较多异常点，其残差r∈(0，1).同时含k(t)和h(t)的回归是折中的结果.另外，3组结果都满足β>α，即人力资本产出的弹性要大于物质资本产出的弹性，人力资本对经济增长的影响要比物质资本更显著，这与目前多数宏观经济文献的分析结果一致.对于发展处于相对落后的国家来说，物质资本的提高将对经济增长带来更大的贡献，而对于发展相对成熟的国家，人力资本投入将对经济增长起到更大的作用，所以估计值在经济含义上基本合理.
接下来将3组回归得到的参数代回到生产函数中，得到每一年Y(t)的估计值，与实际国民生产值进行对比，如图3所示，其中：方形表示含k(t)的回归;叉号表示含h(t)的回归;星号表示同时含k(t)和h(t)的回归.从图3可以看到3种回归所得到的Y(t)始终小于真实值，在大部分区间，含k(t)的回归的估计值相距最远.当图3中的横轴变量小于0.9时，3种回归的差异并不算太明显，但在0.9以后，由含k(t)的回归求解出来的Y(t)突然迅速增长，同时含k(t)和h(t)的回归的估计值的增长速度也有较大的提高.如果利用含k(t)的回归所估计的参数，可以预测估计值的趋势为逐渐偏离真实值，而同时含k(t)和h(t)的回归的估计值的增长趋势与真实值最为接近.图3的分析结果和表2的分析结果略有出入.
对于回归值和实际值之间的差异，一个可能的原因是原始数据没有做无量纲化处理，我们选取的指标的数量级有所不同，从而影响了结果的精度.因此对算法进行改进，添加了无量纲化的步骤。
4结语
为了对非稳定状态下的资本产出弹性和资本储蓄率进行估计，本文首先利用Tikhonov正则化的1阶数值微分估算方法，然后采用最小二乘法的参数估计算法，经由数值模拟实验证明了该算法的可行性.并进一步利用1996—2011年我国的相关统计数据进行实证研究，拟合结果较好，给出的资本产出弹性估计值在经济含义上合理，进一步证明了该算法的合理性.
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